Here is the overvie of number system Generated by Gemini
Number System
संख्या प्रणाली
A visual guide to the key concepts of Real Numbers for Class 10. कक्षा 10 के लिए वास्तविक संख्याओं की प्रमुख अवधारणाओं के लिए एक दृश्य मार्गदर्शिका।
The Two Pillars of Arithmetic अंकगणित के दो स्तंभ
Euclid’s Division Lemma
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका
Given positive integers ‘a’ and ‘b’, there exist unique integers ‘q’ (quotient) and ‘r’ (remainder) satisfying a = bq + r, where 0 ≤ r < b.
दिए गए धनात्मक पूर्णांक ‘a’ और ‘b’ के लिए, अद्वितीय पूर्णांक ‘q’ (भागफल) और ‘r’ (शेषफल) मौजूद होते हैं जो a = bq + r को संतुष्ट करते हैं, जहाँ 0 ≤ r < b।
22 = 5 × 4 + 2
Fundamental Theorem of Arithmetic
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय
Every composite number can be expressed (factorised) as a product of primes, and this factorisation is unique, apart from the order in which the prime factors occur.
प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है, और यह गुणनखंड अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के अलावा अद्वितीय है।
140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7
HCF & LCM Application HCF और LCM अनुप्रयोग
Using prime factorization, we can easily find the HCF (Highest Common Factor) and LCM (Least Common Multiple) of numbers. Let’s take 96 and 404. अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करके, हम आसानी से संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) और LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात कर सकते हैं। आइए 96 और 404 लें।
96 = 2⁵ × 3
404 = 2² × 101
HCF(96, 404) = 2² = 4
LCM(96, 404) = 2⁵ × 3 × 101 = 9696
Comparing HCF and LCM HCF और LCM की तुलना
The Golden Rule सुनहरा नियम
For any two positive integers a and b:
किसी भी दो धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए:
HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
4 × 9696 = 96 × 404 = 38784
The Rational vs. Irrational Divide परिमेय बनाम अपरिमेय विभाजन
Types of Real Numbers
वास्तविक संख्याओं के प्रकार
Rational: परिमेय: Can be written as p/q. (e.g., 1/2, 5, 0.33…) p/q के रूप में लिखा जा सकता है। (जैसे, 1/2, 5, 0.33…)
Irrational: अपरिमेय: Cannot be written as p/q. (e.g., √2, π, 1.01001…) p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता। (जैसे, √2, π, 1.01001…)
Decimal Expansions दशमलव प्रसार
For a rational number p/q, how do we know if its decimal form terminates or repeats?
एक परिमेय संख्या p/q के लिए, हम कैसे जानते हैं कि उसका दशमलव रूप सांत है या आवर्ती?
1. Look at the denominator ‘q’.
हर ‘q’ को देखें।
2. Find its prime factorization.
इसका अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें।
Is it in the form 2ⁿ5ᵐ?
क्या यह 2ⁿ5ᵐ के रूप में है?
YES
हाँ
Terminating
(सांत)
NO
नहीं
Non-Terminating Repeating
(असांत आवर्ती)
Proving Irrationality: The Method of Contradiction
अपरिमेयता सिद्ध करना: विरोधाभास की विधि
To prove a number like √2 is irrational, we assume the opposite (that it’s rational) and show this leads to a logical impossibility (a contradiction).
√2 जैसी संख्या को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए, हम इसका उल्टा मान लेते हैं (कि यह परिमेय है) और दिखाते हैं कि यह एक तार्किक असंभवता (एक विरोधाभास) की ओर ले जाता है।
Assume √2 is rational. So, √2 = a/b where a, b are co-prime.
मान लें कि √2 परिमेय है। तो, √2 = a/b जहाँ a, b सह-अभाज्य हैं।
b√2 = a. Square both sides: 2b² = a². This means a² is even, so ‘a’ must also be even.
पुनर्व्यवस्थित करें: 2b² = a²। इसका मतलब है कि a² सम है, इसलिए ‘a’ भी सम होना चाहिए।
Let a = 2c. Substitute into 2b² = a² to get 2b² = (2c)² = 4c². So, b² = 2c². This means ‘b’ is also even.
प्रतिस्थापित करें: a=2c मानें। 2b²=(2c)² में रखें, तो b²=2c²। इसका मतलब है कि ‘b’ भी सम है।
Step 4: Contradiction! विरोधाभास!
If both ‘a’ and ‘b’ are even, they have a common factor of 2. This contradicts our assumption that they are co-prime. Therefore, our initial assumption was wrong. √2 must be irrational.
यदि ‘a’ और ‘b’ दोनों सम हैं, तो उनका एक सामान्य गुणनखंड 2 है। यह हमारी धारणा का खंडन करता है कि वे सह-अभाज्य हैं। इसलिए, हमारी प्रारंभिक धारणा गलत थी। √2 अपरिमेय होना चाहिए।
Ask the AI Tutor ✨
एआई ट्यूटर से पूछें ✨
Have a question about Number System? Type it below and get an instant explanation.
संख्या प्रणाली के बारे में कोई प्रश्न है? इसे नीचे टाइप करें और तुरंत स्पष्टीकरण प्राप्त करें।
Your answer will appear here.
आपका उत्तर यहाँ दिखाई देगा।